В справочнике приводятся основные данные для проектирования мостов и труб: таблицы по расчету отверстий, основные сведения о главнейших строительных материалах, таблицы для статического расчета конструкций, а также нормативные материалы по габаритам, расчетным нагрузкам, допускаемым напряжениям и пр.

Справочник рассчитан на инженеров, студентов вузов и техников, проектирующих мосты.

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДАННЫЕ К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 8

ГЕОМЕТРИЯ ФИГУР И ТЕЛ

§ 28. Геометрические характеристики плоских фигур. Объемы и поверхности геометрических тел

Таблица 133

Геометрические характеристики плоских фигур
В нижеследующих формулах F - площадь фигуры

Фигура	Общие формулы
Прямоугольный треугольник m и n - отрезки на гипотенузе, отсекаемые перпендикуляром p	a² + b² = c²; c = m+ n; a = csinA = btgA; b = ccosA;
Косоугольный треугольник R - радиус описанного круга; r - радиус вписанного круга; 2S - периметр; h_a, h_b и h_c - высоты; m_a, m_b и m_c - медианы
Правильный равносторонний треугольник a - сторона; h - высота; R - радиус описанного круга; r - радиус вписанного круга
Четырехугольник Общий случай D₁ и D₂- диагонали; φ - угол между ними; - полупериметр; m - линия, соединяющая середины диагоналей	Если четырехугольник вписан в круг, то и ac +bd = D₁D₂. Радиус описанного круга:
Параллелограмм
Прямоугольник R - радиус описанного круга; r - радиус вписанного круга	Для квадрата:
Трапеция
Несимметричная трапеция с двумя прямыми углами
Симметричная трапеция
Четырехугольник с одним пряным углом
Произвольный четырехугольник
Правильный шестиугольник
Скрещенный четырехугольник
Круг β - центральный угол в радианах; β° - центральный угол в градусах; a - окружность	где k - длина хода половинной дуги
Круговой сегмент	Приблизительно для пологих сегментов:
Круговой сектор
Другие элементы дуги круга	Координаты конца дуги: Радиус дуги: где S – длина дуги; β – центральный угол в радианах
Отрезок кольца
Эллипс a и b - полуоси	F = πab Длина эллипса: u ≈ 2aψ. Значения коэффициента ψ приведены в следующей таблице: Таблица
			ψ							ψ						ψ
	0,10		2,032				0,48			2,398			0,75			2,763
	0,20		2,102				0,50			2,423			0,76			2,778
	0,22		2,120				0,52			2,448			0,78			2,807
	0,24		2,138				0,54			2,474			0,80			2,836
	0,25		2,147				0,55			2,487			0,82			2,865
	0,26		2,156				0,56			2,500			0,84			2,895
	0,28		2,175				0,58			2,527			0,85			2,910
	0,30		2,145				0,60			2,553			0,86			2,926
	0,32		2,215				0,62			2,580			0,88			2,956
	0,34		2,230				0,64			2,607			0,90			2,986
	0,35		2,247				0,65			2,621			0,92			3,017
	0,36		2,258				0,66			2,635			0,94			3,048
	0,38		2,280				0,68			2,663			0,95			3,063
	0,40		2,302				0,70			2,691			0,96			3,079
	0,42		2,325				0,72			2,719			0,98			3,110
	0,44		2,349				0,74			2,748
	0,45		2,361
	0,46		2,373
Парабола	Уравнение, отнесенное к хорде: Тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси; Значения ординаты параболы и tgφ приведены в следующей таблице. Таблица
	№ точек	0		1	2	3		4	5		6	7		8	9		10	Множитель
	Абсцисса x	0,00		0,05	0,10	0,15		0,20	0,25		0,30	0,35		0,40	0,45		0,50	l
	Ордината y	0,00		0,19	0,36	0,51		0,64	0,75		0,84	0,91		0,96	0,99		1,00	f
	tgφ	4,0		3,6	3,2	2,8		2,4	2,0		1,6	1.2		0,8	0,4		0,0	f/l
	при x = 0 при x = 0,25l Длина всей дуги параболы от x = 0 до x = l При f < 0,4l Площадь, ограниченная параболой:
Площади, расположенные под данной кривой (приближенные вычислении)	а) Элементарная формула Симпсона. Если y - целая функция x не выше 3-й степени, то искомая площадь равна:
	б) Формула трапеций. Разбивают интервал b - a на большое число (n) равных частей. Тогда площадь:
	в) Правило Симпсона (параболическая формула). Делят абсциссу в интервале от a до b на четное число (2n) равных частей и вычисляют ординаты y₀, y_`, y₂,…, y₂_n. Тогда площадь:
Прямая и наклонная призмы	а) Для прямой призмы: M = Uh, где U - периметр основании; Q = Uh + 2F; V = Fh. б) Для наклонной призмы с параллельными основаниями: V = Nl, где N - площадь нормального к ребрам сечения; l - длина ребра
Усеченная трехгранная призма	где F - площадь нормального к ребрам сечения
Цилиндр (прямой)	M = πdh;
Наклонный цилиндр (основании параллельны)	V = Nl, где N - площадь сечения, нормального к образующей
Усеченный цилиндр
Полый цилиндр (труба)	δ - толщина стенки
Цилиндрическим клин	При 2φ = π; хорда 2a = 2r; b = r и M = 2rh; При 2φ = 2π; хорда 2a = 0; b = 2r и M = πrh;
Цилиндрический круговой с под
Призмойд (тело, ограниченное двумя параллельными основаниями и произвольным числом плоских боковых граней)	Плоскость f параллельна плоскости F, F_m - площадь среднего сечения. По формуле Симпсона
Обелиск (с прямоугольными основаниями)
Клин (с прямоугольным основанием)
Пирамида	_M_{равна сумме площадей ограничивающих треугольников}
Усеченная пирамида
Круглый конус (прямой)	_M_{= πrS;}
Усеченный круговой конус	_{M = π(R + r)S;}
Эллиптический конус	где a и b - полуоси эллипса основании
Усеченный эллиптический конус	где A и B - полуоси эллипса нижнего основания; a и b - полуоси эллипса верхнего основания
Шар
Пустотелый шар	При очень тонкой стенке, толщиной δ, объем можно определять приближенно по формуле: V ≈ 4πR_m²δ, где R_m - средний радиус
Шаровой сегмент	_a_{2 = h(2R - h);}
Шаровой сектор	Q = πR(2h + a)
Шаровой слой (шаровой пояс)	Q = 2πRh
Эллипсоид a, b, c, - полуоси	Эллипсоид вращения (c = b и 2a - ось вращения):
Параболоид вращения
Параболоид, усеченный двумя параллельными основаниями, перпендикулярными к оси
Земляные подходы к мосту¹	Для приближенного подсчета объемов работ по подходам можно пользоваться следующими формулами. Обозначения: L - длина земляной призмы; H - высота насыпи в месте сопряжения с мостом; i₁ - уклон дороги в пределах въезда; i₂ - средний уклон естественной поверхности грунта; B - ширина насыпи поверху; m - отношение заложения откоса насыпи к высоте. Объем земляной призмы: при полуторных откосах (m = 1,5): Объем конуса (на всю ширину насыпи), не учитывая влияния уклона естественной поверхности земли: Площадь поверхности конуса: Площадь поверхности двух откосов: Длина откоса:

¹ Е.Е. Гибшман, А.А. Герцоги А.Ф. Скрипко. Материалы для вариантного проектирования автодорожных мостов Гострансиздат, 1936.

Глава 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

§ 29. Простые геометрические фигуры

Таблица 135

Моменты инерции, радиусы инерции, моменты сопротивления и площади некоторых плоских фигур

Наименование		Форма сечения	Площадь сечении F	Расстояние от центральной оси до крайнего волокна y	Момент инерции I	Момент сопротивления W	Радиус инерции
Прямоугольник			bh
			bh
			bh
Прямоугольники	с вырезом		bh - b₁h₁
	Два прямоугольника		b(h – h₁)
	С вырезом		a² – b²
	Параллелограмм		bh
Треугольник

Трапеция

Прямоугольник с трапецией			ad – (a - b)h
Устой с обратными стенками					_Ix_{= I1 – Fy2}
Тавр			d₀h + bd	y₂ = h – y₁		-	-
Бык с симметричными закруглениями			bd + πR²
Круг и его части	Круг
	Полукруг
	Полукруг			x = 0,2122d
	Круговой сектор
	Квадрант					W_x = 0,096R³
	Кольцо
	Полукольцо
	Круговой треугольник			y₁ = 0,7766R; y₂ = 0,2234R	I_x = 0,0075R⁴; I₁ = 0,137R⁴	W_x = 0,00966R³	r_x = 0,18693R
	Круг без двух сегментов
	Круг без четырех сегментов (с обзолами)	F₁, F₂, F₃, F₄ - площади обзолов
	Сегмент			до центра тяжести
	шестиугольник			x = R
	Восьмиугольник	a = 0,7653R; h = 2,414a				W_x = 0,6906R³ = 1095h³; W₁ = 0,6381R³ = 0,1012h³	r_x = 0,475R = 0,257h
	Правильный многоугольник	Число сторон - n; α = 180°:n; r = Rcosα
Эллипс и его части	Эллипс		_F_{= πab}			W_x = 0,7854b²a; W_x = 0,7854a²b
	Эллиптическое кольцо		_F_{= π(ab - a0b0)}
	Половина эллипса
	Четверть эллипса
	Эллиптический треугольник					W_x = 0,00966ba³	r_x = 0,18693a
Параболы	Парабола x² = 2py					-	-
	Парабола y² = 2px			b
	Парабола y² = 2px		_{Для половины параболы}	От оси 1 – 1		-	-
	Треугольник параболы y² = 2px					-	-
	Парабола xⁿ = py
	Парабола yⁿ = px			b
	Парабола yⁿ = px		_{Половина параболы}
	Треугольник параболы yⁿ = px
Разные фигуры			_F_{= BH + bh}
			_F_{= HB - hb}
			_F_{= Ha + bd =} _{= BH - b(y2 +h)} _где_: ₍_b_{= B - a}₎	y₂ = H - y₁
			_F_{= Ha + b1d1 + B1d,}_где_: ₍_b_{1 = b - a}₎ ₍_B_{1 = B - a}₎	y₂ = H - y₁

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления W_x и W_y некоторых поперечных сечений мостовых опор

Симметричное поперечное сечение с закругленными гранями (рис. 26):

Рис. 26. Сечение опоры с закругленными гранями

Значения коэффициентов K_f, K_s, K_x и K_y даны в табл. 136.

Таблица 136

Значения коэффициентов K_f, K_s, K_x,, K_y (см. рис. 26)

n	K_f	K_s	K_x	K_y
1,0	1,7854	5,1416	0,2648	0,4954
2,0	2,7854	7,1416	0,4315	1,2230
3,0	3,7854	9,1416	0,5982	2,2831
4,0	4,7854	11,1416	0,7648	3,6763
5,0	5,7854	13,1416	0,9315	5,4027
6,0	6,7854	15,1416	1,0982	7,4623

Симметричное поперечное сечение со срезанными углами (рис. 27):

Рис. 27. Сечение опоры прямоугольной формы со скошенными углами

F = ac – 2e²;

S = 2(c + a - 1,17e)

Симметричное поперечное сечение с закругленными углами (рис. 28):

Рис. 28. Сечение опоры прямоугольной формы с закругленными углами

Значения коэффициентов K_f, K_x, K_y даны в табл. 138.

Симметричное поперечное сечение с заостренными гранями (рис. 29).

Рис. 29. Сечение опоры с заостренными передними гранями

e = 1,1547r;

p = 0,866(a - e);

z = a - 1,732e;

F = [n + 0,866(1 - m²) - 0,006 - 0,161m²]a² = K_Fa².

Длина периметра с учетом выкружек:

S = (2п + 3,975 - 2,373т)а;

W_x = [0,1667n + 0,0722(1 - m⁴)]a³ = K_xa³;

Коэффициенты K_f, K_x, и K_y даны в табл. 139.

Поперечное сечение быка с ледорезом (рис. 30):

Рис. 30. Сечение опоры с ледорезом

α = 30°;

β = 60°;

e = 2rtg30° = 1,155r.

Площадь сечения с учетом выкружек:

F = a²(n + 0,823 - 0,514m²) = K_Fa²;

S = a (2n + 3,558 - 1,185m) = K_Sa.

Значения W даются для контура 1-2-3-4-5-6-7.

Центр тяжести сечения принят в точке О, неточность в определении W_y при этом не превышает 5%.

W_x = a³(0,167n + 0,885 - 0,036m⁴) = K_xa³;

Формулы для W_y_(лед) и W_y_(норм).

Рис. 31. Приближенные радиусы инерции составных сечений

Коэффициенты K_f, K_x, и K_S даны в табл. 140, а коэффициенты K_y_(лед) и K_y_(норм) в табл. 137.

Таблица 137

Значения коэффициентов K_y_{(ледор.)} и K_y_(норм) к рис. 30

Значения m	Значения n
	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
	K_y_(лед)						K_y_(норм)
0	0,4222	1,0650	2,0330	3,3305	4,9591	6,9196	0,5767	1,3248	2,4051	3,8181	5,5642	7,6432
0,1	0,4472	1,1105	2,1014	3,4231	5,0765	7,0624	0,5721	1,3173	2,3950	3,8056	5,5490	7,6261
0,2	0,4689	1,1484	2,1581	3,4997	5,1739	7,1809	0,5594	1,2960	2,3661	3,7696	5,5064	7,5764
0,3	0,4881	1,1794	2,2038	3,5613	5,2521	7,2760	0,5399	1,2629	2,3208	3,7126	5,4380	7,4968
0,4	0,5055	1,2043	2,2393	3,6091	5,3119	7,3486	0,5154	1,2200	2,2612	3,6374	5,3466	7,3898
0,5	0,5221	1,2240	2,2655	3,6426	5,541	7,3995	0,4871	1,1694	2,1896	3,5450	5,2346	7,2579
0,6	0,5396	1,2399	2,2837	3,6644	5,3800	7,4298	0,4567	1,1130	2,1086	3,4393	5,1046	7,1038

Таблица 138

Значения коэффициентов K_f, K_x, и K_y (см. рис. 28)

Значения m	Значения n
	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
	K_F						K_x						K_y
0	1,0000	2,0000	3,0000	4,0000	5,0000	6,0000	0,1667	0,3333	0,5000	0,6667	0,8333	1,0000	0,1667	0,6667	1,5000	2,6667	4,1667	6,0000
0,1	0,9914	1,9914	2,9914	3,9914	4,9914	5,9914	0,1628	0,3294	0,4961	0,6628	0,8294	0,9961	0,1628	0,6585	1,4875	2,6499	4,1456	5,9746
0,2	0,9657	1,9657	2,9657	3,9657	4,9657	5,9657	0,1524	0,3190	0,4857	0,6524	0,8190	0,9857	0,1524	0,6353	1,4515	2,6010	4,0849	5,9000
0,3	0,9227	1,9227	2,9227	3,9227	4,9227	5,9227	0,1372	0,3038	0,4705	0,6372	0,8038	0,9705	0,1372	0,5992	1,3941	2,5222	3,9337	5,7784
0,4	0,8627	1,8627	2,8627	3,8627	4,8627	5,8627	0,1188	0,2854	0,4521	0,6188	0,7854	0,9521	0,1188	0,5520	1,3173	2,4156	3,8471	5,6119

Таблица 139

Значения коэффициентов K_f, K_x, и K_y (см. рис. 29)

Значения m	Значения n
	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
	K_F						K_x						K_y
0	1,8599	2,8599	3,8599	4,8599	5,8599	6,8599	0,2389	0,4055	0,5722	0,7389	0,9055	1,0722	0,4819	1,1478	2,1381	3,4575	5,1079	7,0904
0,1	1,8495	2,8495	3,8495	4,8495	5,8495	6,8495	0,2389	0,4055	0,5722	0,7389	0,9055	1,0722	0,5030	1,1877	2,1991	3,5407	5,2140	7,2197
0,2	1,8188	2,8188	3,8188	4,8188	5,8188	6,8188	0,2388	0,4054	0,5721	0,7388	0,9054	1,0721	0,5064	1,2025	2,2269	3,5826	5,2704	7,2910
0,3	1,7675	2,7675	3,7675	4,7675	5,7675	6,7675	0,2383	0,4049	0,5716	0,7383	0,9049	1,0716	0,4946	1,1941	2,2236	3,5851	5,2792	7,3062
0,4	1,6955	2,6955	3,6955	4,6955	5,6955	6,6955	0,2371	0,4037	0,5704	0,7371	0,9037	1,0704	0,4696	1,1650	2,1915	3,5505	5,2425	7,2676
0,5	1,6031	2,6031	3,6031	4,6031	5,6031	6,6031	0,2344	0,4010	0,5677	0,7344	0,9010	1,0677	0,4338	1,1170	2,1323	3,4806	5,1620	7,1767
0,6	1,4901	2,4901	3,4901	4,4901	5,4901	6,4901	0,2295	0,3961	0,6628	0,7295	0,8961	1,0628	0,3892	1,0523	2,0482	3,3772	5,0395	7,0351

Таблица 140

Значения коэффициентов K_f, K_x, и K_y (см. рис. 30)

Значения m	Значения n
	0	1	2	3	4	5	6	0	1	2	3	4	5	6	0	1	2	3	4	5	6
	K_F							K_x							K_S
0	0,8226	1,8226	2,8226	3,8226	4,8226	5,8226	6,8226	0,0852	0,2519	0,4186	0,5853	0,7520	0,9187	1,0854	3,5580	5,5580	7,5580	9,5580	11,5580	13,5580	15,5580
0,1	0,8175	1,8175	2,8175	3,8175	4,8175	5,8175	6,8175	0,0852	0,2519	0,4185	0,5853	0,7520	0,9187	1,0854	3,4395	5,4395	7,4395	9,4395	11,4395	13,4395	15,4395
0,2	0,8021	1,8021	2,8021	3,8021	4,8021	5,8021	6,8021	0,0851	0,2518	0,4185	0,5852	0,7519	0,9186	1,0853	3,3210	5,3210	7,3210	9,3210	11,3210	13,3210	15,3210
0,3	0,7764	1,7764	2,7764	3,7764	4,7764	5,7764	6,7764	0,0849	0,2516	0,4183	0,5850	0,7517	0,9184	1,0851	3,2025	5,2025	7,2025	9,2025	11,2025	13,2025	15,2025
0,4	0,7404	1,7404	2,7404	3,7404	4,7404	5,7404	6,7404	0,0843	0,2510	0,4177	0,5344	0,7511	0,9178	1,0845	3,0840	5,0840	7,0840	9,0840	11,0840	13,0340	15,0840
0,5	0,6942	1,6942	2,6942	3,6942	4,6942	5,6942	6,6942	0,0829	0,2496	0,4163	0,5830	0,7497	0,9164	1,0831	2,9655	4,9655	6,9655	8,9655	10,9655	12,9655	14,9655
0,6	0,6377	1,6377	2,6377	3,6377	4,6377	5,6377	6,6377	0,0805	0,2472	0,4139	0,5806	0,7473	0,9140	1,0807	2,8470	4,8470	6,8470	8,8470	10,8470	12,8470	14,8470

Глава 10

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК

§ 31. Балки однопролетные и консольные

Таблица 141

Формулы для расчета простых балок

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции А и В			A = P; B = P
Поперечная сила в сечении x, Q_x
Моменты в сечении x, M_x
Максимальный момент M_max и расстояние x₀			M_max = Pa x₀ = от a до (l - a)
Уравнение упругой линии
Наибольший прогиб и его место y_max				при x₂ = ~0,54l
Углы поворота φ
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B					A = qa; B = qa
Поперечная сила в сечении х, Q_x
Моменты в сечении x, M_x
Максимальный момент M_max и расстояние x₀					x₀ = от c до d
Уравнение упругой линии		-
Наибольший прогиб и его место y_max		-
Углы поворота φ		-
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B
Поперечная сила в сечении x, Q_x
Моменты в сечении x, M_x
Максимальный момент M_max и расстояние x₀
Уравнение упругой линии
Наибольший прогиб и его место y_max		при x = 0,5193l
Углы поворота φ
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B
Поперечная сила в сечении x, Q_x
Моменты в сечении x, M_x
Максимальный номент M_max и расстояние x₀		x₀ = 0	x₀ = l	x₀ = 0	x₀ = 0
Уравнение упругой линии	-
Наибольший прогиб и его место y_max	-
Углы поворота φ
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B	A = 0	A = P	A = ql	A = P	A = P
Поперечная сила в сечении x, Q_x	Q_x = 0	Q_x = P
Моменты в сечении x, M_x	M_x = M₀
Минимальный момент M_min и расстояние x₀	M_max = M₀; x₀ = от 0 до l	M_min = -Pl; x₀ = 0	x₀ = 0	x₀ = 0	x₀ = 0
Уравнение упругой линии
Наибольший прогиб и его место y_max	при x = l	при x = l	при x = l	при x = l	при x = l
Углы поворота φ	φ₁ = 0;	φ₁ = 0;	φ₁ = 0;	φ₁ = 0;	φ₁ = 0;
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B	A = P	A = qb	A = qa	A = B = P
Поперечная сила в сечении x, Q_x	Q₁ = P;	Q₁ = qb; Q₂ = q(l - x₂)	Q₁ = q(a - x); Q₂ = 0	Q_c = -P; Q_c = P	Q_c = -qx_c; Q_a = A - qx
Моменты в сечении x, M_x
Минимальный момент M_min и расстояние x₀	при x₁ = 0	при x₁ = 0	при x₁ = 0	На участке AB
Уравнение упругой линии
Наибольший прогиб и его место y_max		при x₂ = l		Прогиб посередине:	В середине:
Углы поворота φ				Прогиб на концах: Упругая линия между A и B представляет дугу круга радиуса ρ
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B
Поперечная сила в сечении x, Q_x	Q₁ = -P; Q₂ = 0
Моменты в сечении x, M_x			На участке AB: На участке CA:	(на участке AP); (на участке PB)
Минимальный момент M_min и расстояние x₀				(под грузом P)
Уравнение упругой линии	На участке AB: На консолях:	На участке AB:	На участке AB: На участке CA: На участке BD:	На участке AP: На участке Pb
Наибольший прогиб и его место y_max	при x = 0,577l Прогиб под грузом P:	Прогиб в любом сечении консоли на расстоянии x₁ от A до B	y_max в пролете: прогиб в c:	Максимальный прогиб на расстоянии: при a > b при b > a

Таблица 142

Опорные моменты и опорные реакции балки с одним защемленным и другим свободно опертым концом (момент инерции постоянен)

Схема загружения	Опорные реакции	Опорные моменты











	B = p - A
	B = 2p - A









	A = 0,233pl; B = 0,433pl

Таблицa 143

Коэффициенты K для определения величин опорных моментов балки M_B защемленной одним концом при действии на нее различных видов нагрузок, а также при осадке опор

Формулы момента M_B	Схемы нагрузки	Значения коэффициента α
		0	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00
		Значение коэффициента K
-KPl		0,000	0,0855	0,1440	0,1785	0,1920	0,1875	0,1680	0,1365	0,0960	0,0495	0,000
-KPl		0,000	0,0495	0,0900	0,1355	0,1680	0,1875	0,1920	0,1785	0,1440	0,0855	0,000
-KPl		0,000	0,1350	0,2400	0,3150	0,3600	0,3750	0,3600	0,3150	0,2400	0,1350	0,000
-KPl		0,000	0,0355	0,0480	0,0420	0,0240	0	-0,0240	-0,0420	-0,0480	-0,0355	0,00
+KM		1,000	0,7150	0,4600	0,2350	0,0400	-0,1250	-0,2600	-0,3650	-0,4400	-0,4850	-0,5000
		0,000	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
-Kql²		0,000	0,0045	0,0162	0,0325	0,0512	0,0703	0,0882	0,1035	0,1152	0,1225	0,1250
-Kql²		0,000	0,0025	0,0098	0,0215	0,0368	0,0547	0,0738	0,0925	0,1088	0,1205	0,1250
-Kql²		0,000	0,0187	0,0370	0,0546	0,0710	0,0860	0,0990	0,1098	0,1180	0,1232	0,1250
-Kql²		0,000	0,0070	0,0260	0,0540	0,0880	0,1250	-	-	-	-	-
-Kql²		0,000	0,0020	0,0064	0,0110	0,0144	0,0156	0,0144	0,0110	0,0064	0,0020	0,000
-Kql²		0,000	0,0030	0,0105	0,0207	0,0319	0,0427	0,0520	0,0587	0,0623	0,0623	0,0584
-Kql²		0,000	0,0017	0,0065	0,0142	0,0241	0,0354	0,0471	0,0577	0,0657	0,0694	0,0567
-Kql²		0,000	0,0045	0,0170	0,0349	0,0560	0,0781	-	-	-	-	-
-Kql²		0,000	0,0016	0,0057,	0,0118	0,0193	0,0276	0,0363	0,0448	0,0529	0,0603	0,0657
-Kql²		0,000	0,0009	0,0033	0,0073	0,0127	0,0193	0,0253	0,0349	0,0431	0,0511	0,0584
-Kql²		0,000	0,0024	0,0090	0,0191	0,0320	0,0469	-	-	-	-	-
-Kql²		0,000	0,1226	0,1160	0,1059	0,0930	0,0781	-	-	-	-	-
-Kq₀l²		0,0307	0,0725	0,0748	0,0842	0,0900	0,0959	0,1017	0,1075	0,1134	0,1192	0,1250

Таблица 144

Опорные моменты и опорные реакции балки, защемленной двумя концами (момент инерции постоянен)

Схема загружения	Опорные реакции	Опорные моменты

	B = qb - A









	A = B = P
	A = B = P	M_A = M_B = -0,222Pl
	A = B = 1,5P	M_A = M_B = -0,313Pl
	A = B = 2P	M_A = M_B = -0,4Pl


		M_A = 0; M_B = +M

Таблица 145

Коэффициенты K_A и K_B для определения величин опорных моментов балки, защемленной двумя концами

Формулы моментов		Схемы нагрузки	Значение коэффициента α
Формулы моментов			0,0		0,10		0,20		0,30		0,40		0,50		0,60		0,70		0,80		0,90		1,0
M_A	M_B		K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B
-K_APl	-K_BPl		0	0	0,0810	0,0090	0,1280	0,0320	0,1470	0,0630	0,1440	0,0960	0,1250	0,1250	0,0960	0,1440	0,0630	0,1470	0,0320	0,1280	0,0090	0,0810	0	0
-K_APl	-K_BPl		0	0	0,0090	0,0090	0,1600	0,1600	0,2100	0,2100	0,2400	0,2400	0,2500	0,2500	-	-	-	-	-	-	-	-	0	0
-K_APl	-K_BPl		0	0	0,0711	-0,0711	0,0960	-0,0960	0,0840	-0,0840	0,0480	-0,0480	0	0	-0,0480	0,0480	-0,0840	0,0840	-0,0960	-0,0960	-0,0711	0,0711	0	0
-MK_A	-MK_B		1,000	0	0,6293	0,1700	0,3200	0,2800	0,0700	0,3300	-0,1200	0,3200	-0,2500	0,2500	-0,3200	0,1200	-0,3300	-0,0700	-0,2800	-0,3200	-0,1700	-0,6293	0	1,000
			0	0	0,10	-0,10	0,20	-0,20	0,30	-0,30	0,40	-0,40	0,50	-0,50	0,60	-0,60	0,70	-0,70	0,80	-0,80	0,90	-0,90	1,00	-1,00
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0043	0,0003	0,0151	0,0023	0,0290	0,0070	0,0437	0,0149	0,0573	0,0261	0,0684	0,0396	0,0763	0,0543	0,0811	0,0683	0,0830	0,0790	0,0833	0,0833
-K_Aql²	-K_B		0	0	0,0125	0,0125	0,0247	0,0247	0,0364	0,0364	0,0473	0,0473	0,0573	0,0573	0,0660	0,0660	0,0732	0,0732	0,0787	0,0787	0,0821	0,0821	0,0833	0,0833
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0047	0,0047	0,0173	0,0173	0,0360	0,0360	0,0587	0,0587	0,0833	0,0833	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0040	-0,0040	0,0128	-0,0128	0,0220	-0,0220	0,0288	-0,0288	0,0312	-0,0312	0,0288	-0,0288	0,0220	-0,0220	0,0128	-0,0128	0,0040	-0,0040	0	0
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0029	0,0002	0,0097	0,0017	0,0181	0,0051	0,0265	0,0109	0,0333	0,0187	0,0379	0,0281	0,0398	0,0377	0,0393	0,0461	0,0367	0,0510	0,0334	0,0500
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0030	0,0030	0,0133	0,0133	0,0232	0,0232	0,0373	0,0373	0,0521	0,0521	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0015	0,0001	0,0054	0,0006	0,0109	0,0019	0,0173	0,0041	0,0240	0,0073	0,0305	0,0115	0,0365	0,0166	0,0418	0,0222	0,0463	0,0280	0,0500	0,0334
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0016	0,0016	0,0060	0,0060	0,0127	0,0127	0,0213	0,0213	0,0312	0,0312	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-K_Aql²	-K_Bql²		0,0833	0,0833	0,0817	0,0817	0,0773	0,0773	0,0706	0,0706	0,0620	0,0620	0,0521	0,0521	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-K_Aq_al²	-K_Bq_al²		0,0500	0,0334	0,0533	0,0383	0,0567	0,0433	0,0600	0,0484	0,0633	0,0533	0,0667	0,0583	0,0700	0,0634	0,0733	0,0683	0,0767	0,0733	0,0600	0,0784	0,0833	0,0833

§ 32. Неразрезные многопролетные балки

Общие замечания

Для расчета многопролетных неразрезных балок с равными пролетами приведены таблицы 146 - 160.

В таблицах 146 - 151 для двух- и трехпролетных балок с равными пролетами и постоянным моментом инерции приведены ординаты линий влияния моментов и опорных реакции, а также площади линии влияния моментов и поперечных сил. Ординаты линий влияния для поперечных сил приведены на рисунках 33, 34 и 36.

Очертания остальных линий влияния и обозначения даны на рисунках 32 и 35.

Рис 32. Линии влияния усилий в двухпролетной балке

Рис. 33. Ординаты линий влияния поперечных сил в двухпролетной балке (штриховкой показана линия влияния Q₄)

Рис. 34. Ординаты линий влияния поперечных сил в первом пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q₅)

Рис. 35. Линии влияния усилий в трехпролетной балке

Рис. 36. Ординаты линий влияния поперечных сил для сечений в среднем пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q₁₅)

В таблицах 152 - 153 для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами и постоянными моментами инерции приведены ординаты и площади линий влияния моментов поперечных сил и опорных реакций (рисунки 37 - 38).

Рис. 37. Линии влияния моментов в четырехпролетной балке

Рис. 38. Ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил в четырехпролетной балке

Таблицы 146 - 153 могут применяться и в том случае, когда пролеты неразрезной балки l₁, l₂, ...l_n неравны между собой, но жесткость балки в пролетах меняется пропорционально их пролетам, т.е. если имеет место отношение В этом случае следует величине l, являющейся табличным множителем, придавать значения, соответствующие величинам пролетов, на которых расположены ординаты линий влияния M или площади влияния M и Q.

В табл. 155 даются коэффициенты для вычисления фокусных расстоянии в неразрезных балках с постоянным моментом инерции при некоторых соотношениях в длинах пролетов.

В таблицах 156 - 157 для неразрезных балок с постоянными моментами инерции приведены формулы для определения усилии в балках, вызываемых осадками опор.

Для приближенного определения расчетных моментов и опорных реакции в двух- и трехпролетных балках с учетом влияния переменности моментов инерции по длине пролета (наличие прямолинейных или параболических вут) могут быть использованы таблицы 158 - 160.

Моменты для балок с 5 и более пролетами, особенно от подвижной нагрузки, сравнительно мало отличаются от моментов для балки с 4 пролетами. Поэтому на практике при расчете многопролетных балок обычно ограничиваются рассмотрением четырехпролетной балки.

Необходимо помнить, что величина площади и ординаты линии влияния определяются по таблицам путем умножения табличных коэффициентов на множители:

l² - для площадей линий влияния M,

l - » » » » Q,

l - » ординат линий влияния М,

где l - длина пролета.

Таблица 146

Ординаты линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 32)

№ ординаты (положение груза P-1)	Ординаты линий влияния y
	моментов в сечениях							опорных реакции
	х = 0,2l	х = 0,4l	х = 0,5l	х = 0,6l	х = 0,8l	х = 0,9l	х = 1,0l	крайней	средней
	M₂	M₄	M₅	M₆	M₈	M₉	M₁₀	A	B
0	0	0	0	0	0	0	0	1,0000	0
1	0,0751	0,0501	0,0376	0,0252	0,0002	-0,0123	-0,0248	0,8753	0,1495
2	0,1504	0,1008	0,0760	0,0512	0,0016	-0,0232	-0,0480	0,7520	0,2960
3	0,1264	0,1527	0,1159	0,0791	0,0054	-0,0311	-0,0683	0,6318	0,4365
4	0,1032	0,2064	0,1580	0,1096	0,0128	-0,0356	-0,0840	0,5160	0,5680
5	0,0813	0,1625	0,2031	0,1438	0,0250	-0,0344	-0,0938	0,4063	0,6875
6	0,0608	0,1216	0,1520	0,1824	0,0432	-0,0264	-0,0960	0,3040	0,7920
7	0,0422	0,0843	0,1054	0,1265	0,0686	-0,0103	-0,0893	0,2108	0,8785
8	0,0256	0,0512	0,0640	0,0768	0,1024	0,0152	-0,0720	0,1280	0,9440
9	0,0115	0,0229	0,0286	0,0344	0,0458	0,0515	-0,0428	0,0573	0,9855
10	0	0	0	0	0	0	0	0	1,000
11	-0,0086	-0,0171	-0,0214	-0,0257	-0,0342	-0,0385	-0,0428	-0,0428	0,9855
12	-0,0114	-0,0288	-0,0360	-0,0432	-0,0576	-0,0648	-0,0720	-0,0720	0,9440
13	-0,0179	-0,0357	-0,0416	-0,0536	-0,0714	-0,0803	-0,0893	-0,0893	0,8785
14	-0,0192	-0,0384	-0,0480	-0,0576	-0,0768	-0,0864	-0,0960	-0,0960	0,7920
15	-0,0188	-0,0375	-0,0469	-0,0563	-0,0750	-0,0844	-0,0938	-0,0938	0,6875
16	-0,0168	-0,0336	-0,0420	-0,0501	-0,0672	-0,0756	-0,0840	-0,0840	0,5680
17	-0,0137	-0,0273	-0,0341	-0,0410	-0,0546	-0,0611	-0,0683	-0,0683	0,4365
18	-0,0096	-0,0192	-0,0240	-0,0288	-0,0384	-0,0432	-0,0480	-0,0480	0,2950
19	-0,0050	-0,0099	-0,0124	-0,0149	-0,0198	-0,0223	-0,0248	-0,0248	0,1495
20	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Множитель	l							1,00

Таблица 147

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см рис. 32)

ω	Плошали линии слиянии
	моментов в сечениях							опорых реакций
	х = 0,2l	х = 0,4l	х = 0,5l	х = 0,6l	х = 0,8l	х = 0,9l	х = 1,0l	крайней	средней
	M₂	M₄	M₅	M₆	M₈	M₉	M₁₀	A	B
ω₁	+0,0675	+0,0950	+0,09375	+0,08250	+0,0300	-0,0175 +0,00611	-0,0625	+0,4375	-
ω₂	-0,0125	-0,0250	-0,03125	-0,03750	-0,0500	-0,05611	-0,0625	-0,0625	-
ω₃	-	-	-	-	-	-	-	-	+1,25
∑ω	+0,055	+0,0700	+0,0625	+0,0450	-0,0200	-0,0675	-0,1250	+0,375	+1,25
Множитель	l²							l

Таблица 148

Площади линий влияния поперечных сил (см. рис. 33) для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами

ω	Плошали линий влияния для поперечных сил в сечениях
	х = 0	х = 0,2l	х = 0,4l	х = 0,5l	х = 0,6l	х = 0,8l	х = 0,9l	х = 1,0l	Множитель
	Q₀	Q₂	Q₁	Q₅	Q₆	Q₈	Q₉	Q_10(лев)	Множитель
-ω₁	0	-0,0249	-0,0984	-0,1523	-0,2169	-0,3744	-0,4652	-0,5625		l
+ω₁	+0,4375	+0,2624	+0,1359	+0,0898	+0,0544	+0,0119	+0,0027	0
-ω₂	-0,0625	-0,0625	-0,0625	-0,0625	-0,0625

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления Wx и Wy некоторых поперечных сечений мостовых опор

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления W_x и W_y некоторых поперечных сечений мостовых опор